1808 Point De B B

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La lemme. Qu'un gauche espace vectoriel sur le corps et la multitude arbitraire. Alors la multitude d'images à est un gauche espace vectoriel sur par rapport aux opérations ordinaires de l'addition des fonctions et leur multiplication à gauche sur :

Dans ce cas est la multitude de points de l'espace, tels que; donc, c'est l'hyperplan affin avec l'équation dans la base. les espaces, satisfaisant à la condition, sont ceux-là, la matrice de qui dans la base a l'air

Le moyen court de la preuve de la proposition est l'application de la proposition : il y a une intersection de tous les LAMAS contenant. Le manque de ce raisonnement de ce qu'il faut attirer famille ”toute LAMAS contenant”, que peu qu'est connu laquelle d'habitude même innombrablement!

En particulier, l'étude semi-affin (en conséquence affin) les images de l'espace ℰ à elle-même, admettant le point immobile, est réduite à l'étude semi-linéaire (en conséquence linéaire) les images ℰ à elle-même.

Enfin, si - l'automorphisme et - l'hyperplan affin à, l'insertion entraîne les égalités. En effet, il y a un hyperplan affin à, et il suffit d'appliquer la conséquence du théorème II 2, étant revenu au cas vectoriel par voie du remplacement du début de s.

. Pour que la famille des points de soit libre (. engendrant), il est nécessaire et assez que la famille soit libre (. Par la famille des génératrices) dans l'espace vectoriel

Ces résultats sont employés, en particulier, vers le cas, quand, - les suites vectorielles espaces affines de, et, - les images, aux immersions canoniques: toute image affine à, est identifiée avec l'image linéaire de l'espace à l'espace, satisfaisant à l'exigence, et le groupe des bijections affines est identifié avec le sous-groupe gardant affin

La définition que - l'espace vectoriel sur le corps arbitraire. Par l'espace affin associé avec, s'appelle la multitude ℰ, sur qui on définit l'action simplement transitive du groupe abélien.

Pour une telle image n'importe quel point est immobile; en acceptant un tel point pour le début, nous venons au cas de la conception pour l'espace vectoriel. Découle d'ici l'existence de telles images, ainsi que leur suivant géométrique :

b) si, par l'image triviale entraîne (puisque peut accepter seulement deux significations 0. Si, - deux vecteurs de, le point défini par la condition, est, d'où et découle notre affirmation.

Que ℰ - l'espace affin associé à l'espace vectoriel. Chacun vectoriel les espaces forme le sous-groupe du groupe agissant sur ℰ les retransmissions. Par la définition, les orbites de l'action sur ℰ s'appellent les diversités linéaires affines (en abrégé les LAMAS) avec la direction. Le groupe, agissant est simplement transitif sur chacune de ces orbites définit alors sur chacun d'eux la structure affine associée avec; c'est pourquoi nous appelons ces orbites (LAMAS) aussi affin à ℰ.

À l'inverse, si existent et, tels que, on peut présenter dans l'aspect, où. Alors le point défini par la condition, appartient et, comme il est facile de voir. Cela prouve qu'appartient aussi, et n'est pas vide alors.

Plus bas nous désignons par, deux espaces affins, associé conformément aux espaces vectoriels sur les corps arbitraires. Nous donnerons purement géométrique des images semi-affines de s. Pour la clarté nous commencerons par le cas des images.

L'interprétation. Nous fixons à ℰ un certain point et nous approvisionnerons, par les structures vectorielles, en acceptant pour le début à ℰ le point, et à - le point. Alors sera semi-affin (conformément à affin) dans celui-là et seulement ce cas, si - semi-linéaire (en conséquence de ligne l'image ℰ s.

À l'inverse, pour que des points à ℰ forment le repère affin, il est nécessaire et assez que des vecteurs forment la base, ou (équivalent pour que les points n'appartenaient pas à un hyperplan affin.

Nous remarquerons que si est des LAMAS de la dimension finale à ℰ et - le repère affin à, c'est-à-dire la multitude de points de s Ce moyen est souvent utile. En particulier, la ligne droite affine, joignant deux points à ℰ, est la multitude de points.

La proposition que, - deux espaces vectoriels sur le même corps et (en conséquence) – l'hyperplan affin à (.), ne passant pas dans le début; nous désignerons (en conséquence) l'hyperplan vectoriel parallèle (en conséquence).